概率论与数理统计（经管类）常用公式汇总

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本文档根据全国高等教育自学考试《概率论与数理统计（经管类）》（课程代码：03709）大纲范围整理，涵盖全部核心公式，供复习备考使用。

第一章 随机事件与概率

1.1 基本公式

  • 条件概率

$$P(B \mid A) = \frac{P(AB)}{P(A)}, \quad P(A) > 0$$

  • 乘法公式

$$P(AB) = P(A) \cdot P(B \mid A) = P(B) \cdot P(A \mid B)$$

  • 全概率公式

$$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A \mid B_i) \cdot P(B_i)$$

  • 贝叶斯公式

$$P(B_i \mid A) = \frac{P(A \mid B_i) \cdot P(B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A \mid B_j) \cdot P(B_j)}$$

1.2 概率的性质

  • 加法公式

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(AB)$$

  • 对立事件

$$P(\bar{A}) = 1 – P(A)$$

  • 互斥事件的加法公式

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

第二章 一维随机变量及其分布

2.1 离散型随机变量

  • 0-1 分布

$$P(X = k) = p^k (1-p)^{1-k}, \quad k = 0, 1$$

  • 二项分布 $X \sim B(n, p)$

$$P(X = k) = C_n^k \, p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \cdots, n$$

  • 泰松分布 $X \sim P(\lambda)$

$$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \cdots$$

2.2 连续型随机变量

  • 均匀分布 $X \sim U(a, b)$

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a \leq x \leq b \\ 0, & \text{other} \end{cases}$$

  • 指数分布 $X \sim E(\lambda)$

$$f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}$$

  • 正态分布 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} \, e^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

标准正态分布 $Z \sim N(0, 1)$，分布函数 $\Phi(z)$：

$$\Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt$$

一般正态分布的计算（标准化）：

$$P(a < X < b) = \Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) – \Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$$

2.3 分布函数

$$F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$$

第三章 多维随机变量及其分布

3.1 二维离散型

  • 边缘分布律

$$P(X = x_i) = \sum_j p_{ij}, \quad P(Y = y_j) = \sum_i p_{ij}$$

  • 条件分布律

$$P(X = x_i \mid Y = y_j) = \frac{p_{ij}}{P(Y = y_j)}$$

3.2 二维连续型

  • 边缘概率密度

$$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy, \quad f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx$$

  • 独立性判定

$$f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) \iff X \text{ 与 } Y \text{ 相互独立}$$

第四章 随机变量的数字特征

4.1 数学期望

  • 离散型 $E(X) = \sum_k x_k \, p_k$
  • 连续型 $E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \, f(x) \, dx$

期望的性质：
– $E(C) = C$
– $E(CX) = C \cdot E(X)$
– $E(X \pm Y) = E(X) \pm E(Y)$
– 若 $X, Y$ 独立，则 $E(XY) = E(X) \cdot E(Y)$

4.2 常用分布的期望与方差

分布记号$E(X)$$D(X)$
0-1 分布—$p$$p(1-p)$
二项分布$B(n,p)$$np$$np(1-p)$
泰松分布$P(\lambda)$$\lambda$$\lambda$
均匀分布$U(a,b)$$\dfrac{a+b}{2}$$\dfrac{(b-a)^2}{12}$
指数分布$E(\lambda)$$\dfrac{1}{\lambda}$$\dfrac{1}{\lambda^2}$
正态分布$N(\mu,\sigma^2)$$\mu$$\sigma^2$

4.3 方差

$$D(X) = E(X^2) – [E(X)]^2$$

方差的性质：
– $D(C) = 0$
– $D(CX) = C^2 \cdot D(X)$
– 若 $X, Y$ 独立，则 $D(X \pm Y) = D(X) + D(Y)$

4.4 协方差与相关系数

$$\operatorname{Cov}(X, Y) = E(XY) – E(X) \cdot E(Y)$$

$$\rho_{XY} = \frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sqrt{D(X)} \cdot \sqrt{D(Y)}}$$

  • $\rho_{XY} = 0 \iff X$ 与 $Y$ 不相关
  • 独立 ⇒ 不相关；反之不一定成立

第五章 大数定律与中心极限定理

5.1 切毙他夫不等式

$$P(|X – E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2}$$

5.2 大数定律

切毙他夫大数定律：设 $X_1, \cdots, X_n$ 相互独立，方差一致有界，则对任意 $\varepsilon > 0$：

$$\lim_{n \to \infty} P(|\bar{X} – \overline{\mu}| \geq \varepsilon) = 0$$

伯努利大数定律：设 $n_A$ 为 $n$ 次独立重复试验中事件 $A$ 发生的次数，$p = P(A)$，则：

$$\lim_{n \to \infty} P\!\left(\left|\frac{n_A}{n} – p\right| \geq \varepsilon\right) = 0$$

5.3 中心极限定理

检摩夫—拉普拉斯定理：设 $X \sim B(n, p)$，则当 $n$ 充分大时：

$$\frac{X – np}{\sqrt{np(1-p)}} \overset{d}{\longrightarrow} N(0, 1)$$

列维—林德伯格定理：设 $X_1, \cdots, X_n$ 独立同分布，$E(X_i) = \mu$，$D(X_i) = \sigma^2 > 0$，则：

$$\frac{\bar{X} – \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \overset{d}{\longrightarrow} N(0, 1)$$

第六章 数理统计的基本概念

6.1 样本与统计量

  • 样本均值 $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$
  • 样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i – \bar{X})^2$

6.2 抽样分布

$\chi^2$ 分布：$\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \sim \chi^2(n)$，$X_i \sim N(0,1)$独立

$t$ 分布：$\frac{X}{\sqrt{Y/n}} \sim t(n)$，$X \sim N(0,1)$，$Y \sim \chi^2(n)$独立

$F$ 分布：$\frac{U/n_1}{V/n_2} \sim F(n_1, n_2)$，$U \sim \chi^2(n_1)$，$V \sim \chi^2(n_2)$独立

6.3 重要抽样分布结论

设 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则：
– $\bar{X} \sim N\!\left(\mu, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$
– $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
– $\dfrac{\bar{X} – \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$

第七章 参数估计

7.1 点估计

矩估计法：用样本矩代替总体矩

最大似然估计法：
$$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \theta)$$
对数化后求导：$\dfrac{d \ln L(\theta)}{d\theta} = 0$

7.2 估计量的评价标准

  • 无偏性：$E(\hat{\theta}) = \theta$
  • 有效性：无偏估计中方差最小
  • 一致性：$\hat{\theta}_n \xrightarrow{P} \theta$

7.3 区间估计

单正态总体，方差已知（估计 $\mu$）：

$$\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

单正态总体，方差未知（估计 $\mu$）：

$$\bar{X} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}$$

单正态总体，均值未知（估计 $\sigma^2$）：

$$\left[\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)}, \;\; \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\right]$$

两正态总体均值差的区间估计（$\sigma^2$ 未知且相等）：

$$(\bar{X} – \bar{Y}) \pm t_{\alpha/2}(n+m-2) \cdot S_w \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{1}{m}}$$

其中 $S_w^2 = \dfrac{(n-1)S_1^2 + (m-1)S_2^2}{n+m-2}$

第八章 假设检验

8.1 基本思想

  • 原假设 $H_0$ 与 备选假设 $H_1$
  • 显著性水平 $\alpha$
  • 检验统计量及拒绝域

8.2 单正态总体的均值检验

$\sigma^2$ 已知（$Z$ 检验）：

$$Z = \frac{\bar{X} – \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$$

拒绝域：$|Z| \geq z_{\alpha/2}$

$\sigma^2$ 未知（$t$ 检验）：

$$T = \frac{\bar{X} – \mu_0}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$$

拒绝域：$|T| \geq t_{\alpha/2}(n-1)$

8.3 单正态总体的方差检验

$$\chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)$$

拒绝域（双侧）：$\chi^2 \leq \chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)$ 或 $\chi^2 \geq \chi^2_{\alpha/2}(n-1)$

8.4 两正态总体的均值检验

$\sigma_1^2, \sigma_2^2$ 已知：

$$Z = \frac{(\bar{X} – \bar{Y}) – (\mu_1 – \mu_2)}{\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n} + \dfrac{\sigma_2^2}{m}}} \sim N(0,1)$$

$\sigma_1^2 = \sigma_2^2$ 未知：

$$T = \frac{\bar{X} – \bar{Y}}{S_w \sqrt{\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{m}}} \sim t(n+m-2)$$

8.5 两正态总体的方差检验

$$F = \frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n-1, m-1)$$

附：常用临界值符号说明

符号含义
$z_{\alpha}$标准正态分布的上 $\alpha$ 分位点
$t_{\alpha}(n)$$t$ 分布的上 $\alpha$ 分位点，自由度为 $n$
$\chi^2_{\alpha}(n)$$\chi^2$ 分布的上 $\alpha$ 分位点
$F_{\alpha}(n_1, n_2)$$F$ 分布的上 $\alpha$ 分位点

复习建议

  1. 重点章节：第一、二、四、七、八章为必考核心。
  2. 记忆要点：熟记各分布的期望与方差、三大抽样分布的定义、各类区间估计和假设检验的统计量公式。
  3. 计算题套路：先判断已知条件，再选择对应公式代入计算。
  4. 查表能力：熟练掌握查 $\Phi(z)$、$t$、$\chi^2$、$F$分布临界值表。

文档版本：v1.0 | 适用课程：概率论与数理统计（经管类）03709

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