本文按自考《高等数学（00023）》的常见考查顺序整理高频公式，每条公式后附一句用法说明。文中 $C$ 表示任意常数，$\ln$ 一律指自然对数。少数章节（曲线曲面积分、傅里叶级数等）是否考查，以本省最新大纲为准。
一、函数、极限与连续
1. 常用等价无穷小（当 $x\to 0$ 时）
- $\sin x\sim x$，$\tan x\sim x$，$\arcsin x\sim x$，$\arctan x\sim x$
- $1-\cos x\sim \frac{1}{2}x^{2}$
- $\ln(1+x)\sim x$，$e^{x}-1\sim x$，$a^{x}-1\sim x\ln a$
- $(1+x)^{\alpha}-1\sim \alpha x$
- $x-\sin x\sim \frac{1}{6}x^{3}$，$\tan x-x\sim \frac{1}{3}x^{3}$
- 说明：等价无穷小只能整体替换乘除因子，出现在加减里必须改用泰勒展开，否则结果会出错。
2. 两个重要极限
- $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
- $\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e$，$\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$
- 说明：凡是 $1^{\infty}$ 型的幂指函数，统一用 $\lim u^{v}=e^{\lim v(u-1)}$ 处理，这是上式的直接推广。
3. 常用结论
- 夹逼准则：若 $g(x)\le f(x)\le h(x)$ 且 $\lim g=\lim h=A$，则 $\lim f=A$。
- 单调有界准则：单调有界数列必有极限，证明递推数列收敛时常用。
- 有界函数与无穷小之积仍是无穷小。
- 有理分式当 $x\to\infty$ 时：分子次数高则为无穷大，次数相同为系数之比，分母次数高则为 0。
4. 连续与间断点
- 连续的定义：$\lim_{x\to x_0^{-}}f(x)=\lim_{x\to x_0^{+}}f(x)=f(x_0)$。
- 第一类间断点：左右极限都存在（相等为可去间断点，不等为跳跃间断点）。
- 第二类间断点：至少一侧极限不存在（无穷间断点、振荡间断点）。
- 闭区间上连续函数的性质：有界性、最值定理、介值定理、零点定理，证明方程有根靠零点定理。
二、导数与微分
1. 基本导数公式
| 公式 | 公式 |
|---|---|
| $(C)’=0$ | $(x^{\alpha})’=\alpha x^{\alpha-1}$ |
| $(a^{x})’=a^{x}\ln a$ | $(e^{x})’=e^{x}$ |
| $(\log_a x)’=\frac{1}{x\ln a}$ | $(\ln x)’=\frac{1}{x}$ |
| $(\sin x)’=\cos x$ | $(\cos x)’=-\sin x$ |
| $(\tan x)’=\sec^{2}x$ | $(\cot x)’=-\csc^{2}x$ |
| $(\sec x)’=\sec x\tan x$ | $(\csc x)’=-\csc x\cot x$ |
| $(\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ | $(\arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ |
| $(\arctan x)’=\frac{1}{1+x^{2}}$ | $(\operatorname{arccot}x)’=-\frac{1}{1+x^{2}}$ |
2. 求导法则
- 四则运算：$(u\pm v)’=u’\pm v’$，$(uv)’=u’v+uv’$，$\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^{2}}$。
- 复合函数（链式法则）：$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$，由外向内逐层求，不要漏掉内层导数。
- 反函数：$[f^{-1}(x)]’=\frac{1}{f'(y)}$，其中 $y=f^{-1}(x)$。
- 参数方程：$x=\varphi(t)$，$y=\psi(t)$ 时，$\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$。
- 隐函数：方程两边同时对 $x$ 求导，把 $y$ 当作 $x$ 的函数，再解出 $y’$。
- 对数求导法：幂指函数 $y=u(x)^{v(x)}$ 或多个因子连乘除时，先取对数再求导。
3. 微分与近似
- 微分：$dy=f'(x)\,dx$，其中 $\Delta y\approx dy=f'(x_0)\Delta x$。
- 近似公式：$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$，$\Delta x$ 越小越精确。
4. 高阶导数
- $(e^{x})^{(n)}=e^{x}$，$(\sin x)^{(n)}=\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)$，$(\cos x)^{(n)}=\cos\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)$
- $(x^{n})^{(n)}=n!$，$(\ln x)^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n}}$
- 莱布尼茨公式：$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\mathrm{C}_n^{k}u^{(k)}v^{(n-k)}$
三、微分中值定理与导数的应用
1. 三大中值定理
- 罗尔定理：$f$ 在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 内可导，且 $f(a)=f(b)$，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $f'(\xi)=0$。
- 拉格朗日中值定理：$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$，$\xi\in(a,b)$。
- 柯西中值定理：$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$，其中 $g'(x)\neq 0$。
- 说明：三个定理是罗尔到拉格朗日再到柯西的特例关系，证明题里常构造辅助函数 $F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$。
2. 泰勒公式
- 泰勒公式：$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^{k}+R_n(x)$。
- 拉格朗日余项：$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$，$\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间。
- 常用麦克劳林展开（$x_0=0$）：
- $e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$
- $\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
- $\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}$
- $\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n}$，其中 $-1
- $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}$，其中 $\lvert x\rvert<1$
- $(1+x)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^{n}$，其中 $\lvert x\rvert<1$
3. 单调性、极值与凹凸
- 单调性：$f'(x)>0$ 时递增，$f'(x)<0$ 时递减；求单调区间先解 $f'(x)=0$。
- 极值第一充分条件：$f’$ 在 $x_0$ 左右变号，左正右负取极大值，左负右正取极小值。
- 极值第二充分条件：$f'(x_0)=0$ 且 $f”(x_0)<0$ 取极大值，$f”(x_0)>0$ 取极小值。
- 凹凸与拐点：$f”(x)>0$ 曲线为凹（下凸），$f”(x)<0$ 为凸（上凸），$f”$ 变号处为拐点。
- 最值：把驻点、不可导点与端点的函数值都算出来比较大小。
4. 渐近线与曲率
- 水平渐近线：若 $\lim_{x\to\infty}f(x)=b$，则 $y=b$ 是水平渐近线。
- 铅直渐近线：若 $\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$，则 $x=x_0$ 是铅直渐近线。
- 斜渐近线：$k=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$，$b=\lim_{x\to\infty}[f(x)-kx]$，则 $y=kx+b$。
- 曲率：$K=\frac{\lvert y”\rvert}{(1+y’^{2})^{3/2}}$，曲率半径 $\rho=\frac{1}{K}$。
四、不定积分
1. 基本积分表
| 公式 | 公式 |
|---|---|
| $\int x^{\alpha}\,dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$ | $\int\frac{dx}{x}=\ln\lvert x\rvert+C$ |
| $\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$ | $\int a^{x}\,dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C$ |
| $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ | $\int\cos x\,dx=\sin x+C$ |
| $\int\frac{dx}{\cos^{2}x}=\tan x+C$ | $\int\frac{dx}{\sin^{2}x}=-\cot x+C$ |
| $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\arcsin x+C$ | $\int\frac{dx}{1+x^{2}}=\arctan x+C$ |
| $\int\tan x\,dx=-\ln\lvert\cos x\rvert+C$ | $\int\cot x\,dx=\ln\lvert\sin x\rvert+C$ |
| $\int\frac{dx}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$ | $\int\frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin\frac{x}{a}+C$ |
| $\int\frac{dx}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}\ln\left\lvert\frac{x-a}{x+a}\right\rvert+C$ | $\int\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\arcsin\frac{x}{a}+C$ |
说明：第一行要求 $\alpha\neq -1$；最后一行是”三角代换”的固定结果，遇到根式积分可直接套用。
2. 三种基本积分方法
- 凑微分（第一类换元）：$\int f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx=\int f(u)\,du$，关键是凑出 $d\varphi(x)$。
- 第二类换元：含 $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ 令 $x=a\sin t$；含 $\sqrt{a^{2}+x^{2}}$ 令 $x=a\tan t$；含 $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ 令 $x=a\sec t$。
- 分部积分：$\int u\,dv=uv-\int v\,du$，选 $u$ 的次序是”反、对、幂、指、三”，排在前面的取作 $u$。
- 有理函数的积分：假分式先做多项式除法，真分式再拆成部分分式逐项积分。
五、定积分及其应用
1. 基本公式
- 牛顿-莱布尼茨公式：$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$，其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的任意一个原函数。
- 变限积分求导：$\frac{d}{dx}\int_a^{x}f(t)\,dt=f(x)$，$\frac{d}{dx}\int_{a}^{\varphi(x)}f(t)\,dt=f(\varphi(x))\varphi'(x)$。
- 分部积分：$\int_a^b u\,dv=[uv]_a^b-\int_a^b v\,du$。
- 换元法：换元的同时必须换积分限，换限后不必再把变量换回来。
2. 常用性质
- 线性性：$\int_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,dx=\alpha\int_a^b f(x)\,dx+\beta\int_a^b g(x)\,dx$。
- 区间可加：$\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f$，且 $\int_a^a f=0$，$\int_a^b f=-\int_b^a f$。
- 对称区间的奇偶性：$f$ 为奇函数时 $\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0$；$f$ 为偶函数时 $\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_0^{a}f(x)\,dx$。
- 积分中值定理：$f$ 连续时 $\int_a^b f(x)\,dx=f(\xi)(b-a)$，$\xi\in[a,b]$。
3. 几何应用
- 平面图形面积：$A=\int_a^b\lvert f(x)-g(x)\rvert\,dx$。
- 绕 $x$ 轴旋转体体积：$V_x=\pi\int_a^b f^{2}(x)\,dx$；绕 $y$ 轴用柱壳法 $V_y=2\pi\int_a^b x\lvert f(x)\rvert\,dx$。
- 平面曲线弧长：$s=\int_a^b\sqrt{1+y’^{2}}\,dx$；参数方程时为 $s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\varphi’^{2}(t)+\psi’^{2}(t)}\,dt$。
4. 反常积分
- 无穷区间：$\int_a^{+\infty}f(x)\,dx=\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)\,dx$，极限存在则收敛。
- 无界函数：被积函数在 $c$ 处无界时，用 $\varepsilon\to 0^{+}$ 把积分拆成两段求极限，极限存在则收敛。
- 常用结论：$\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^{p}}$ 当 $p>1$ 时收敛，当 $p\le 1$ 时发散。
六、常微分方程
1. 一阶方程
- 可分离变量：$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$，分离后两边积分 $\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,dx$。
- 齐次方程：$\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right)$，令 $u=\frac{y}{x}$（即 $y=ux$）化为可分离变量方程。
- 一阶线性方程：$y’+P(x)y=Q(x)$，通解为 $y=e^{-\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right)$。
- 伯努利方程：$y’+P(x)y=Q(x)y^{n}$（$n\neq 0,1$），令 $z=y^{1-n}$ 化为一阶线性方程。
2. 可降阶的二阶方程
- $y”=f(x)$：连续积分两次即可。
- $y”=f(x,y’)$：令 $p=y’$，方程变为 $p’=f(x,p)$，是一阶方程。
- $y”=f(y,y’)$：令 $p=y’$，则 $y”=p\frac{dp}{dy}$，化为关于 $p$ 与 $y$ 的一阶方程。
3. 二阶常系数线性方程
- 齐次方程 $y”+py’+qy=0$ 的特征方程为 $r^{2}+pr+q=0$，按根的情形写通解：
- 两个不等实根 $r_1,r_2$ 时 $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$。
- 二重根 $r$ 时 $y=(C_1+C_2x)e^{rx}$。
- 共轭复根 $\alpha\pm\beta i$ 时 $y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$。
- 非齐次方程 $y”+py’+qy=f(x)$ 的通解等于对应齐次方程的通解加上本身的一个特解。
- 待定系数法：$f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}$ 时设特解 $y^{*}=x^{k}Q_m(x)e^{\lambda x}$，其中 $k$ 是 $\lambda$ 作为特征根的重数（$\lambda$ 不是特征根时取 $k=0$）。
七、向量代数与空间解析几何
- 数量积：$\vec a\cdot\vec b=\lvert\vec a\rvert\lvert\vec b\rvert\cos\theta$，坐标式为 $\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$。
- 夹角公式：$\cos\theta=\frac{\vec a\cdot\vec b}{\lvert\vec a\rvert\lvert\vec b\rvert}$；两向量垂直等价于 $\vec a\cdot\vec b=0$。
- 向量积：$\lvert\vec a\times\vec b\rvert=\lvert\vec a\rvert\lvert\vec b\rvert\sin\theta$，方向由右手法则确定，两向量平行等价于 $\vec a\times\vec b=\vec 0$。
- 平面的点法式：$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$，其中 $(A,B,C)$ 是平面的法向量。
- 直线的对称式：$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$，其中 $(m,n,p)$ 是直线的方向向量。
- 点到平面的距离：$d=\frac{\lvert Ax_0+By_0+Cz_0+D\rvert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$。
- 常见曲面：球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$；柱面 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$；锥面 $z^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2})$；旋转抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$。
八、多元函数微分学
- 全微分：$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$，偏导数连续是可微的充分条件。
- 复合函数链式法则：$z=f(u,v)$，$u=u(x,y)$，$v=v(x,y)$ 时，$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$。
- 隐函数求导：$F(x,y,z)=0$ 确定 $z=z(x,y)$ 时，$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}$，$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$。
- 极值判别：先解方程组 $f_x=0$ 与 $f_y=0$ 求驻点，记 $A=f_{xx}$，$B=f_{xy}$，$C=f_{yy}$：
- $AC-B^{2}>0$ 时是极值点，其中 $A<0$ 取极大值，$A>0$ 取极小值。
- $AC-B^{2}<0$ 时不是极值点，$AC-B^{2}=0$ 时需另作判断。
- 条件极值：求 $f(x,y)$ 在 $\varphi(x,y)=0$ 下的极值，作拉格朗日函数 $L=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$，令 $L_x=L_y=L_{\lambda}=0$。
- 梯度与方向导数：$\operatorname{grad}f=(f_x,f_y,f_z)$，沿单位向量 $\vec e_l$ 的方向导数为 $\frac{\partial f}{\partial l}=\operatorname{grad}f\cdot\vec e_l$，梯度方向是函数增长最快的方向。
九、重积分
- 二重积分（直角坐标）：X 型区域为 $\iint_D f(x,y)\,d\sigma=\int_a^b dx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\,dy$；Y 型区域则先对 $x$ 积分。
- 二重积分（极坐标）：$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$d\sigma=r\,dr\,d\theta$，圆域与扇形域用极坐标最省力。
- 三重积分：柱面坐标为 $dV=r\,dr\,d\theta\,dz$，球面坐标为 $dV=r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta$。
- 交换积分次序：先画出积分区域，再重新确定内外层的积分限，这是二重积分最常见的变形。
- 应用：可求立体体积、曲面面积以及平面薄片的质量与形心。
十、曲线积分与曲面积分
- 第一类曲线积分（对弧长）：$\int_L f(x,y)\,ds$，把 $ds=\sqrt{1+y’^{2}}\,dx$ 代入化为定积分。
- 第二类曲线积分（对坐标）：$\int_L P\,dx+Q\,dy$，把曲线参数化后代入计算。
- 格林公式：$\oint_L P\,dx+Q\,dy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\,dy$，其中 $L$ 取正向且为闭曲线。
- 积分与路径无关：在单连通区域内等价于 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$。
- 高斯公式：$\oiint_{\Sigma}P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy=\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV$。
- 斯托克斯公式：$\oint_{\Gamma}\vec F\cdot d\vec r=\iint_{\Sigma}(\nabla\times\vec F)\cdot d\vec S$，把空间闭曲线积分化为曲面积分。
十一、无穷级数
- 收敛的必要条件：$\sum u_n$ 收敛必有 $\lim_{n\to\infty}u_n=0$，通项不趋于 0 则一定发散。
- 几何级数：$\sum_{n=0}^{\infty}aq^{n}$ 当 $\lvert q\rvert<1$ 时收敛，和为 $\frac{a}{1-q}$。
- $p$ 级数：$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}$ 当 $p>1$ 时收敛，当 $p\le 1$ 时发散，其中 $p=1$ 就是调和级数。
- 比较判别法：与 $p$ 级数或几何级数比较，大级数收敛则小级数收敛。
- 比值判别法：$\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$，$\rho<1$ 收敛，$\rho>1$ 发散，$\rho=1$ 时失效。
- 莱布尼茨判别法：交错级数 $\sum(-1)^{n-1}u_n$ 若 $u_n$ 单调递减且趋于 0，则级数收敛。
- 绝对收敛与条件收敛：$\sum\lvert u_n\rvert$ 收敛称为绝对收敛，此时原级数必收敛；原级数收敛而 $\sum\lvert u_n\rvert$ 发散称为条件收敛。
- 幂级数：$\sum a_nx^{n}$ 的收敛半径 $R=\lim_{n\to\infty}\left\lvert\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\rvert$，端点要单独判断敛散性。
- 幂级数在收敛区间内可逐项求导、逐项积分且收敛半径不变，这是求和函数的主要手段。
- 常用展开式即上面的麦克劳林展开，套用时不要漏写成立范围。
十二、傅里叶级数（视大纲）
- 周期为 $2\pi$ 的傅里叶级数：$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$。
- 系数公式：$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx$，$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx$。
- 狄利克雷收敛定理：在连续点处级数收敛于 $f(x)$，在间断点处收敛于左右极限的算术平均值。
考前提要
- 极限：先用等价无穷小化简，再用洛必达法则；遇到 $1^{\infty}$ 直接套 $e^{\lim v(u-1)}$。
- 导数：复合函数由外向内逐层求导；隐函数、参数方程、对数求导法各记一套套路。
- 中值定理证明题：构造辅助函数是关键，出现 $f(b)-f(a)$ 想拉格朗日，出现两个函数之比想柯西。
- 积分：先看能否凑微分，再看有无现成公式；三角有理式优先考虑万能代换。
- 定积分应用记住三件事：面积、旋转体体积、弧长。
- 微分方程：先判断类型再套公式，二阶方程先解特征方程，非齐次别忘”齐次通解加特解”。
- 多元函数：无条件极值先解驻点方程组，条件极值用拉格朗日乘数法。
- 级数：先看通项是否趋于 0，再选比值判别法或比较判别法，幂级数不要漏掉端点。